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圓周率
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各式各樣的數
基本
{\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} NumberSetinC.svg

正數 {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}{\mathbb {R}}^{+}
自然數 {\displaystyle \mathbb {N} }\mathbb{N}
正整數 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}{\mathbb {Z}}^{+}
小數
有限小數
無限小數
循環小數
有理數 {\displaystyle \mathbb {Q} }\mathbb{Q}
代數數 {\displaystyle \mathbb {A} }\mathbb{A}
實數 {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R}
複數 {\displaystyle \mathbb {C} }\mathbb {C}
高斯整數 {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}\mathbb{Z}[i]
負數 {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}\mathbb{R}^-
整數 {\displaystyle \mathbb {Z} }\mathbb {Z}
負整數 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}{\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分數
單位分數
二進分數
規矩數
無理數
超越數
虛數 {\displaystyle \mathbb {I} }{\mathbb {I}}
二次無理數
艾森斯坦整數 {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
延伸
二元數
四元數 {\displaystyle \mathbb {H} }{\mathbb {H}}
八元數 {\displaystyle \mathbb {O} }\mathbb{O}
十六元數 {\displaystyle \mathbb {S} }\mathbb {S}
超實數 {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
大實數
上超實數
雙曲複數
雙複數
複四元數
共四元數
超複數
超數
超現實數
其他
質數 {\displaystyle \mathbb {P} }\mathbb {P}
可計算數
基數
艾禮富數
同餘
整數數列
公稱值
規矩數
可定義數
序數
超限數
p進數
數學常數
圓周率 {\displaystyle \pi =3.141592653\dots }{\displaystyle \pi =3.141592653\dots }
自然對數的底 {\displaystyle e=2.718281828\dots }{\displaystyle e=2.718281828\dots }
虛數單位 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
無窮大 {\displaystyle \infty }\infty

圓周率是一個數學常數,為一個圓的周長和其直徑的比率,近似值約等於3.14159,常用符號{\displaystyle \pi }\pi 來表示。

因為{\displaystyle \pi }\pi 是一個無理數,所以它不能用分數完全表示出來(即它的小數部分是一個無限不循環小數)。當然,它可以用像{\displaystyle {\frac {22}{7}}}{\frac {22}{7}}般的有理數的近似值表示。{\displaystyle \pi }\pi 的數字序列被認為是隨機分布的,有一種統計上特別的隨機性,但至今未能證明。此外,{\displaystyle \pi }\pi 還是一個超越數——它不是任何有理數係數多項式的根。由於{\displaystyle \pi }\pi 的超越性質,化圓為方的問題不可能用尺規作圖解決。

幾個文明古國在很早就需要計算出{\displaystyle \pi }\pi 的較精確的值以便於生產中的計算。公元5世紀時,中國劉宋數學家祖沖之用幾何方法將圓周率計算到小數點後7位數字。大約同一時間,印度的數學家也將圓周率計算到小數點後5位。歷史上首個{\displaystyle \pi }\pi 的精確無窮級數公式(即π的萊布尼茨公式)直到約1000年後才由印度數學家發現。[1][2]在20和21世紀,由於計算機技術的快速發展,藉助計算機的計算使得{\displaystyle \pi }\pi 的精度急速提高。截至2020年,{\displaystyle \pi }\pi 的十進位精度已高達5×1013位。[3]當前人類計算{\displaystyle \pi }\pi 的值的主要目的是為打破記錄、測試超級計算機的計算能力和高精度乘法算法,因為幾乎所有的科學研究對{\displaystyle \pi }\pi 的精度要求都不會超過幾百位。[4]:17[5]

因為{\displaystyle \pi }\pi 的定義中涉及圓,所以{\displaystyle \pi }\pi 在三角學和幾何學的許多公式,特別是在圓形、橢球形或球形相關公式中廣泛應用。[6]由於{\displaystyle \pi }\pi 用於特徵值這一特殊作用,它也在一些數學和科學領域(例如數論和統計中計算數據的幾何形狀)中出現,也在宇宙學,熱力學,力學和電磁學中有所出現。[7]{\displaystyle \pi }\pi 的廣泛應用使它成為科學界內外最廣為人知的常數之一。人們已經出版了幾本專門介紹{\displaystyle \pi }\pi 的書籍,圓周率日(3月14日)和{\displaystyle \pi }\pi 值計算突破記錄也往往會成為報紙的新聞頭條。[8]此外,背誦{\displaystyle \pi }\pi 值的世界記錄已經達到100,000位的精度。[9]


目錄
1 基本概念
1.1 名稱
1.2 定義
1.3 無理性及正規性
1.4 超越性
1.5 連分式
1.6 近似值
1.7 複數與歐拉恆等式
1.8 譜特徵
1.9 高斯積分
2 歷史
2.1 遠古時期
2.2 割圓時代
2.3 無窮級數
2.4 無理性與超越性
2.5 {\displaystyle \pi }\pi 符號的引入
3 現代數值近似
3.1 計算機時代與疊代算法
3.2 計算{\displaystyle \pi }\pi 的意義
3.3 快速收斂級數
3.4 蒙特卡洛方法
3.5 閥門算法
4 用途
4.1 幾何學與三角學
4.2 拓撲學
4.3 向量分析
4.4 柯西積分公式
4.5 Γ函數與斯特靈公式
4.6 數論與黎曼ζ函數
4.7 傅立葉級數
4.8 模形式與{\displaystyle \Theta }\Theta函數
4.9 柯西分布與位勢論
4.10 複變動態系統
5 數學之外的{\displaystyle \pi }\pi
5.1 描述物理現象
5.2 {\displaystyle \pi }\pi 的記憶技巧
5.3 大眾文化中的{\displaystyle \pi }\pi
6 注釋
7 參考資料
7.1 書籍
7.2 引用
8 延伸閱讀
9 外部連結

直徑為1的圓的周長是π
基本概念
名稱
數學家用小寫希臘字母{\displaystyle \pi }\pi 表示圓周和其直徑之比,有時也將其拼寫為pi,這來自於希臘語「περίμετρος」(周長)的首字母。[10]在英語中,{\displaystyle \pi }\pi 的發音與英文單詞「pie」(/paɪ/,西式餡餅)相同。[11]在數學中,{\displaystyle \pi }\pi 的小寫字母(或者是其無襯線體)要和表示連乘積的大寫形式Π相區分開。

關於為何選擇符號{\displaystyle \pi }\pi 的原因,請參見π符號的引入一節。

定義
A diagram of a circle, with the width labeled as diameter, and the perimeter labeled as circumference
圓的周長略大於其直徑的三倍長。 精確的比例稱為{\displaystyle \pi }\pi 。
{\displaystyle \pi }\pi 常用定義為圓的周長{\displaystyle C}C與直徑{\displaystyle d}d的比值:[4]:8

{\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}{\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}.
無論圓的大小如何,比值{\displaystyle {\frac {C}{d}}}{\displaystyle {\frac {C}{d}}}為恆值。如果一個圓的直徑變為原先的二倍,它的周長也將變為二倍,比值{\displaystyle {\frac {C}{d}}}{\displaystyle {\frac {C}{d}}}不變。當前{\displaystyle \pi }\pi 的定義隱性地使用了歐幾里得幾何中的一些定理,雖然一個圓的定義可以擴展到任意曲面(即非歐幾里得幾何),但這些圓將不再符合定律{\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}{\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}。[4]

這裡,圓的周長指其圓周的弧長,弧長這一概念可以不依賴幾何學————而是使用微積分學中的極限來定義。[12]例如,若想計算笛卡兒座標系中單位圓{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}x^{2}+y^{2}=1上半部分的弧長,需要用到積分:[13]

{\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}{\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}
上述積分是由卡爾·魏爾斯特拉斯於1841年對{\displaystyle \pi }\pi 的積分定義。[14]

這些依賴於周長,且隱性地依賴積分的{\displaystyle \pi }\pi 的定義,如今在文獻中並不常見。雷默特(Remmert (1991))解釋說這是因為在現代微積分教學中,大學一般將微分學課程安排在積分學課程之前,所以不依賴於後者的{\displaystyle \pi }\pi 的定義就很有必要了。其中一種定義,由理查·巴爾策提出,[15]由愛德蒙·蘭道推廣,[16]其表述如下:{\displaystyle \pi }\pi 是兩倍於能使餘弦函數等於零的最小正數。[4][13][17]餘弦函數可以由獨立於幾何之外的冪級數[18]定義,或者使用微分方程的解來定義。[17]

在相似的啟發下,{\displaystyle \pi }\pi 可以用關於復變量{\displaystyle z}z的複指數函數{\displaystyle \exp(z)}{\displaystyle \exp(z)}來定義。複指數類似餘弦函數,可透過多種方式定義。令函數{\displaystyle \exp(z)}{\displaystyle \exp(z)}值為一的複數集合是一個如下所示的(虛)算數過程:

{\displaystyle \{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki|k\in \mathbb {Z} \}}{\displaystyle \{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki|k\in \mathbb {Z} \}},
並且其中包括一個獨特的正實數{\displaystyle \pi }\pi 。[13][19]

一個基於同樣想法,但更為抽象的定義運用了精巧的拓撲學和代數學概念,用以下定理描述:[20]存在一個唯一的從加法模數整數組成的實數群 R/Z 到絕對值為1的複數組成的乘法群的連續同態(拓撲學概念,指在拓撲空間之間的一種態射)。數字{\displaystyle \pi }\pi 被定義為此同態派生的模的一半。[21]

在給定的周長的條件下,圓會圍成最大的面積,因此{\displaystyle \pi }\pi 的表述同樣為等周不等式中出現的常數(乘四分之一)。此外,在很多其他緊密相關的方程中,{\displaystyle \pi }\pi 作為某些幾何或者物理過程的特徵值出現;詳見下文。

無理性及正規性
{\displaystyle \pi }\pi 是個無理數,也就是說,{\displaystyle \pi }\pi 無法表示成兩個整數之比的形式(形如{\displaystyle {\frac {22}{7}}}{\frac {22}{7}}的分數常用來近似表達{\displaystyle \pi }\pi ,但是沒有任何普通分數(指整數的比)可以取到{\displaystyle \pi }\pi 的精確值)。[4]:5由於{\displaystyle \pi }\pi 是無理數,故可表示為無限不循環小數。有多種方法能證明π是無理數,這些證明也都要用到微積分學和反證法。人們還無法準確得知{\displaystyle \pi }\pi 可以用有理數來近似的程度(稱為無理性度量),不過估計其無理性度量比e或ln(2)的要大,但是小於劉維爾數的無理性度量[22]。

人們通過統計隨機性檢驗,包括正規數的檢驗,驗證了{\displaystyle \pi }\pi 的位數沒有明顯的固定模式。因此,{\displaystyle \pi }\pi 的小數中任意固定長度的序列(例如3位數字的000,001……999)出現機率都相同[23]。不過有關π是正規數的猜想既無證明,亦無否證[4]:22-23[23]。

電腦的出現使得人們可以生成大量π的不同位數,並進行統計分析。金田康正針對π的十進制數字進行了詳細的統計分析,並驗證了其分布的正規性:例如,將出現0到9十個數字的頻率進行假設檢定,找不到有特定重複規律的證據[4]:22, 28–30。根據無限猴子定理,任何任意長度,由隨機內容組成的子序列都有可能看起來像不隨機產生的。因此,就算π的小數序列通過了隨機性統計測試,其中也可能有幾位的數字看起來似有規律可循而非隨機數,例如π的十進制寫法中,自第762位小數後開始出現了連續六個的9[4]:3。

超越性
A diagram of a square and circle, both with identical area; the length of the side of the square is the square root of pi
由於π是超越數,不能利用尺規作圖化圓為方。
{\displaystyle \pi }\pi 不僅是個無理數,還是一個超越數,即{\displaystyle \pi }\pi 不是任何一個有理數係數多項式的根。(比方說,試圖通過解有限項方程{\displaystyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0}{\displaystyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0},來求得{\displaystyle \pi }\pi 的值。)[24][註 1]

{\displaystyle \pi }\pi 的超越性衍生出了一些重要的結果:{\displaystyle \pi }\pi 不能通過有理數經有限次四則運算和開平方運算來獲得,因此{\displaystyle \pi }\pi 不是規矩數。換言之,利用尺規作圖作不出長度為{\displaystyle \pi }\pi 的線段,也就不可能用尺規方法做出一個與已知圓面積相等的正方形。後者即為有名的化圓為方問題,該問題早在古典時代即已提出,曾困擾人們數千年之久[25][26]。直至今天,依然有民間數學愛好者聲稱他們解決了這一問題[27]。

連分式
像所有的無理數一樣,{\displaystyle \pi }\pi 無法表示成一個分數。但是每一個無理數,包括{\displaystyle \pi }\pi ,都能表示成一系列叫做連分數的連續分數形式:

{\displaystyle \pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}{\displaystyle \pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}
在這個連分數的任意一點截斷化簡,都能得到一個π的近似值;前四個近似值是:3,{\displaystyle {\frac {22}{7}}}{\frac {22}{7}},{\displaystyle {\frac {333}{106}}}\frac{333}{106},{\displaystyle {\frac {355}{113}}}\frac{355}{113}。這些數在歷史上是{\displaystyle \pi }\pi 最廣為人知且廣為使用的幾個近似值。用以上方式得出的{\displaystyle \pi }\pi 的近似值要比任何有相同或更小的整數分母的其他整數分數近似值更接近π。[28]由於{\displaystyle \pi }\pi 是一個超越數,據超越數定義來說它不是代數數,又因此不可能是一個二次無理數;是故{\displaystyle \pi }\pi 不能表示為循環連分數。儘管{\displaystyle \pi }\pi 的簡單連分數沒有表現出任何其他明顯規律,[29]數學家們發現了數個廣義連分數能表示{\displaystyle \pi }\pi ,例如:[30]

{\displaystyle \pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}{\displaystyle \pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}
近似值
圓周率近似值包括:

整數:3
分數(依準確度順序排列):
22
7

333
106

355
113

52163
16604

103993
33102

245850922
78256779
[28](選自 A063674 及 A063673。)
小數(整數後首80個位):3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899...[4]:240(另見 A000796)
其他進位制中的近似值

二進位(整數後首48個位):11.001001000011111101101010100010001000010110100011...
十六進位(整數後首20個位):3.243F6A8885A308D31319...[4]:242
六十進位(整數後首5個位):3;8,29,44,0,47[31]
複數與歐拉恆等式
在複數平面上以原點為圓心的單位圓內,一條射線從圓心出發至圓的邊上,以此射線與圓的邊的交點作與x軸的垂線並標註了夾角.mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}φ和.mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}sinφ、.mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}cosφ函數
歐拉公式給出了e的複指數與複數平面上以原點為圓心的單位圓上的點之間的關係。
任何複數(以{\displaystyle z}z為例)都可以表示為一組實數對:在極座標系中,一個實數{\displaystyle r}r用來表示半徑,代表複數平面上複數{\displaystyle z}z離原點的距離;另一個實數{\displaystyle \varphi }\varphi 則用來表示夾角,即這條半徑(複數平面上複數{\displaystyle z}z與原點的連線)與正實數軸經順時針轉動的夾角。這樣一來,{\displaystyle z}z就可寫成[32]

{\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )}{\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )},這裡{\displaystyle i}i代表一個虛數單位,即{\displaystyle i^{2}=-1}i^{2}=-1。
在複分析中,歐拉公式將三角函數與復指數函數糅合在一起[33]:

{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi },這裡數學常數e是自然對數的底數。
歐拉公式確立了{\displaystyle e}e的複指數與複數平面上以原點為圓心的單位圓上的點之間的關係,而且當{\displaystyle \varphi =\pi }{\displaystyle \varphi =\pi }時,歐拉公式就能改寫為歐拉恆等式的形式:

{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}。此等式亦稱「最奇妙的數學公式」(英語:the most remarkable formula in mathematics),全因為它將五個最基本的數學常數簡潔地聯繫起來[33][34]。
歐拉等式亦可用於求出方程{\displaystyle z^{n}=1}{\displaystyle z^{n}=1}的{\displaystyle n}n個不同的複數根(這些根叫做{\displaystyle ^{n}n}{\displaystyle ^{n}n}次單位根」[35]),可以根據以下公式求得:

{\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}{\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}
譜特徵

震盪弦的泛音是二次微分的本徵函數,會形成泛音列。對應的本徵值會形成由π整數倍組成的等差數列
{\displaystyle \pi }\pi 經常出現在和幾何相關的問題之中。然而,在不少和幾何無關的問題中也可以看到{\displaystyle \pi }\pi 的身影。

{\displaystyle \pi }\pi 在許多的應用中都會以特徵值的形式出現。例如理想的振動弦問題可以建模為函數{\displaystyle f}f在單位區間{\displaystyle [0,1]}[0,1]的圖形,固定邊界值為{\displaystyle f(0)=f(1)=0}{\displaystyle f(0)=f(1)=0}。弦振動的模態會是微分方程的{\displaystyle f^{n}(x)+\lambda ^{2}f(x)=0}{\displaystyle f^{n}(x)+\lambda ^{2}f(x)=0},此處λ是相關的特徵值。受施圖姆-劉維爾理論限制,{\displaystyle \lambda }\lambda 只能是一些特定的數值。而{\displaystyle \lambda =\pi }{\displaystyle \lambda =\pi }即為一個特徵值,因為函數{\displaystyle f(x)=\sin(\pi x)}{\displaystyle f(x)=\sin(\pi x)}滿足邊界條件及微分方程{\displaystyle \lambda =\pi }{\displaystyle \lambda =\pi }[36]。


依照第一代開爾文男爵威廉·湯姆森所述的一個傳說,古迦太基城的外形是等周長問題的一個解(Thompson 1894)。這些包圍著海的區域是迦太基女王狄多所圍的,城不靠海的邊界需要用一塊指定大小的牛皮圍住,後來是將牛皮剪成小段
{\displaystyle \pi }\pi 是上述方程中最小的特徵值,也和弦振動的基本模式有關。一個讓弦振動的方式是提供弦能量,能量會滿足一個不等式,維爾丁格函數不等式[37],其中提到若函數{\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {C} }{\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {C} }使得{\displaystyle f(0)=f(1)=0}{\displaystyle f(0)=f(1)=0},且{\displaystyle f}f和{\displaystyle f'}f'都是平方可積函數,則以下的不等式成立:

{\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,}{\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,}
此例中等號成立的條件恰好是{\displaystyle f}f為{\displaystyle \sin(\pi x)}{\displaystyle \sin(\pi x)}倍數的時候。因此{\displaystyle \pi }\pi 似乎是維爾丁格不等式的最佳常數,因此也是最小的特徵值(根據雷利商數的計算方式)

{\displaystyle \pi }\pi 在更高維度的分析中也有類似的角色,出現在其他類似問題的特徵值中。就如以上所述,{\displaystyle \pi }\pi 的一個特點是等周定理中的最佳常數:周長為{\displaystyle P}P的平面若爾當曲線,所圍面積{\displaystyle A}A滿足以下的不等式

{\displaystyle 4\pi A\leq P^{2},}{\displaystyle 4\pi A\leq P^{2},}
等號成立的條件是曲線為一圓形,因為{\displaystyle A=\pi r^{2}}A=\pi r^2及{\displaystyle P=2\pi r}{\displaystyle P=2\pi r}.[38]。

圓周率{\displaystyle \pi }\pi 也和龐加萊不等式的最佳常數有關[39],{\displaystyle \pi }\pi 是一維及二維的狄氏能量特徵向量最佳值中,最小的一個,因此{\displaystyle \pi }\pi 會出現在許多經典的物理現象中,例如經典的位勢論[40][41][42]。其一維的情形即為Wirtinger不等式 。

圓周率π也是傅立葉變換的一個重要常數,傅立葉變換屬於積分變換,將一個在實數線上的一個有複數值,可積分的函數,轉換為以下的型式:

{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.}{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.}
傅立葉變換有幾種不同的寫法,但不論怎麼寫,傅立葉變換及反傅立葉變換中,一定會有某處出現{\displaystyle \pi }\pi 。不過上述的定義是最經典的,因為其描述了L2空間中唯一的么正算符,也是{\displaystyle L^{1}}L^{1}空間到{\displaystyle L^{\infty }}L^{\infty }空間的代數同態[43]。

不確定性原理中也有出現{\displaystyle \pi }\pi 這個數字。不確定性原理提出了可以將一個函數在空間及在頻域中局部化程度的下限,利用傅立葉轉換的方式表示:

{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\ \int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \geq \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}.}{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\ \int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \geq \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}.}
物理的結果,有關量子力學中同時觀測位置及動量的不確定性,見下文。傅立葉分析中π的出現是史東–馮紐曼定理的結果,證實了海森伯群的薛定諤表示的唯一性[44]。

高斯積分

高斯函數{\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}{\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}的圖像,函數下方與X軸圍成的陰影部分面積為{\displaystyle {\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\pi }}。
高斯積分是對高斯函數{\displaystyle e^{-x^{2}}}e^{{-x^{2}}}在整條實數軸上的積分,即函數下方與X軸圍成的面積,其結果為{\displaystyle {\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\pi }},

{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}
此積分的計算可以先計算{\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}{\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}對整條實數軸的積分的平方,通過轉換笛卡爾座標系為極座標系從而求得

{\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\iint _{\mathbf {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dxdy=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta =\pi }{\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\iint _{\mathbf {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dxdy=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta =\pi }
其他計算方法可參閱高斯積分。高斯函數更一般的形式為{\displaystyle f(x)=a\exp {\frac {-(x-b)^{2}}{2c^{2}}}}{\displaystyle f(x)=a\exp {\frac {-(x-b)^{2}}{2c^{2}}}},求一般形式的高斯積分均可通過換元積分法轉化為求{\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}{\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}的積分。

另外,當高斯函數為以下形式時,它則是平均數為{\displaystyle \mu }\mu 和標準差為{\displaystyle \sigma }\sigma 的常態分布的機率密度函數[45]:

{\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,\exp {\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,\exp {\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}
因為這個函數是一個機率密度函數,函數下方與X軸圍成的面積必須為1,令{\displaystyle \mu =0}\mu=0和{\displaystyle \sigma =1}\sigma=1即可變換得出{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}。機率論與統計學領域經常使用常態分布來作為複雜現象的簡單模型:例如科學家通常假設大多數試驗觀測值的隨機誤差都是服從常態分布[46]。


由一維布朗運動的反正弦定律,可以通過試驗正信號相對於負信號領先權過零點的分布反過來推算π
機率論與統計學中的中央極限定理解釋了常態分布以及{\displaystyle \pi }\pi 的核心作用,這個定理本質上是聯繫著{\displaystyle \pi }\pi 的譜特徵與海森堡不確定性原理相關的特徵值,並且在不確定性原理中有

{\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2}{\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2},
這裡的{\displaystyle \sigma _{x}}{\displaystyle \sigma _{x}}與{\displaystyle \sigma _{p}}{\displaystyle \sigma _{p}}分別為位置與動量的標準差,{\displaystyle \hbar }\hbar 是約化普朗克常數,而不等式的等號若且唯若粒子的波函數為高斯函數使成立[47]。

同樣地,{\displaystyle \pi }\pi 作為唯一獨特的常數使得高斯函數等於其自身的傅立葉變換,此時的高斯函數形式為{\displaystyle f(x)=e^{-\pi x^{2}}}{\displaystyle f(x)=e^{-\pi x^{2}}}[48]。根據豪(Howe)的說法,建立傅立葉分析基本定理的「全部工作(whole business)」簡化為高斯積分。

歷史
主條目:π的近似值
參見:π計算年表
遠古時期
圓周率在遠古時期(公元前一千紀)已估算至前兩位(「3」和「1」)。有些埃及學家聲稱,遠至古王國時期時期的古埃及人已經用{\displaystyle {\frac {22}{7}}}{\frac {22}{7}}作為圓周率的約數[49][註 2],但這個說法受到了質疑。[51][52][53][54]

最早有記載的對圓周率估值在古埃及和巴比倫出現,兩個估值都與圓周率的正確數值相差不到百分之一。巴比倫曾出土一塊公元前1900至1600年的泥板,泥板上的幾何學陳述暗示了人們當時把圓周率視同{\displaystyle {\frac {25}{8}}}{\displaystyle {\frac {25}{8}}}(等於3.125)。[4]:167埃及的萊因德數學紙草書(鑑定撰寫年份為公元前1650年,但抄自一份公元前1850年的文本)載有用作計算圓面積的公式,該公式中圓周率等於{\displaystyle ({\frac {16}{9}})^{2}}{\displaystyle ({\frac {16}{9}})^{2}}(約等於3.1605)。[4]:167

公元前4世紀的《百道梵書》中的天文學運算把{\displaystyle {\frac {339}{108}}}{\displaystyle {\frac {339}{108}}}(約等於3.139,精確到99.91%)用作圓周率估值[55]。公元前150年前的其他印度文獻把圓周率視為{\displaystyle {\sqrt {10}}}\sqrt{10}(約等於3.1622)[4]:169。

割圓時代
圖中有圓的外切五邊形、內接五邊形、外切六邊形及內接六邊形
π可以透過計算圓的外切多邊形及內接多邊形周長來估算
第一個有紀錄、嚴謹計算π數值的演算法是透過正多邊形的幾何算法,是在西元前250年由希臘數學家阿基米德所發明。[4]:170這個算法使用了有一千年之久,因而有時π亦稱阿基米德常數。[4]:175、205阿基米德的算法是在計算圓的外切正六邊形及內接正六邊形的邊長,以此計算{\displaystyle \pi }\pi 的上限及下限,之後再將六邊形變成十二邊形,繼續計算邊長……,一直計算到正96邊形為止。他根據多邊形的邊長證明{\displaystyle {\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}}{\displaystyle {\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}}(也就是{\displaystyle 3.1408<\pi <3.1429}{\displaystyle 3.1408<\pi <3.1429})[56]。阿基米德得到的上限{\displaystyle {\frac {22}{7}}}{\frac {22}{7}}也造成一個常見誤解,認為{\displaystyle \pi }\pi 就等於{\displaystyle {\frac {22}{7}}}{\frac {22}{7}}[4]:171。在公元前150年,希臘羅馬的科學家克勞狄烏斯·托勒密在《天文學大成》一書中提到π的數值是3.1416,可能來自阿基米德,也可能來自阿波羅尼奧斯。[4]:176[57]數學家在1630年利用多邊形的方式計算π到第39位小數,一直到1699年,其他數學家才利用無窮級數的方式打破其紀錄,計算到第71位小數[58]。

獨自研究圖形的阿基米德
阿基米德發展了用多邊形近似π的計算方式
中國歷史上,{\displaystyle \pi }\pi 的數值有3[59]、3.1547(公元前一世紀)、{\displaystyle {\sqrt {10}}}\sqrt{10}(公元前100年,數值約3.1623)及{\displaystyle {\frac {142}{45}}}{\displaystyle {\frac {142}{45}}}(第三世紀,數值約3.1556)[4]:176–177。大約在公元265年,曹魏的數學家劉徽創立了割圓術,用3,072邊的正多邊形計算出π的數值為3.1416。[60][4]:177劉徽後來又發明了一個較快的算法,利用邊數差兩倍的正多邊形,其面積的差值會形成等比數列,其公比為{\displaystyle {\frac {1}{4}}}\frac{1}{4}的原理,配合96邊形算出{\displaystyle \pi }\pi 的數值為3.14。[60]祖沖之在公元480年利用割圓術計算12,288形的邊長,得到{\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}}{\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}}(現在稱為密率),其數值為3.141592920,小數點後的前六位數都是正確值。在之後的八百年內,這都是準確度最高的π估計值。[4]:178為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻,日本數學家三上義夫將這一推算值命名為「祖沖之圓周率」,簡稱「祖率」。[61]

印度天文學家阿耶波多在公元499年的著作《阿里亞哈塔曆書》中使用了3.1416的數值。[4]:179斐波那契在大約1220年利用獨立於阿基米德多邊形法,計算出3.1418[4]:180。義大利作家但丁·阿利吉耶里用的數值則是{\displaystyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142}{\displaystyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142}。[4]:180

波斯天文學家卡西在1424年利用3×228邊的多邊形,計算到六十進制的第9位小數,相當十進制的第16位小數。[62][63]這一突破成為當時的紀錄,延續了約180年。[64]法國數學家弗朗索瓦·韋達在1579年用3×217邊形計算到第9位小數[64],佛蘭芒數學家阿德里安·范·羅門在1593年計算到第15位小數[64]。荷蘭數學家魯道夫·范·科伊倫在1596年計算到第20位小數,他之後又計算到第35位小數(因此在二十世紀初之前,圓周率在德國會稱為魯道夫數)。[4]:182–183荷蘭科學家威理博·司乃耳在1621年計算到第34位小數[4]:183,而奧地利天文學家克里斯托夫·格林伯格在1630年用1040邊形計算到第38位小數[65],至今這仍是利用多邊形算法可以達到最準確的結果[4]:183。

無窮級數

比較幾個曾用來計算π的無窮級數的收斂情形。Sn是只取前n項的近似值。每一個圖都是對應前一張圖的陰影部份,然後橫軸放大10倍。(點擊後可以察看細節)
16世紀及17世紀時,{\displaystyle \pi }\pi 的計算開始改用無窮級數的計算方式。無窮級數是一組無窮數列的和[4]:185–191。無窮級數讓數學家可以計算出比阿基米德以及其他用幾何方式計算的數學家更準確的結果。[4]:185–191雖然詹姆斯·格雷果里及戈特弗里德·萊布尼茨等歐洲數學家利用無窮數列計算π而使得該方法為大家所知,但這種方法最早是由印度科學家在大約1400到1500年之間發現的。[4]:185-186[66]第一個記載的用無窮級數計算π的人是約公元1500年左右時,印度天文學家尼拉卡莎·薩默亞士在他的著作《系統匯編》中用梵語詩所記錄。[67]當時沒有這個數列對應的證明,而證明出現在另一本較晚的印度作品《基本原理》,年代約在公元1530年。尼拉卡莎將該數列歸功於更早期的印度數學家桑加馬格拉馬的馬德哈瓦( 1350 – 1425)。[67]有許多相關的無窮級數,包括有關{\displaystyle \sin }\sin、{\displaystyle \tan }\tan及{\displaystyle \cos }\cos的,現在稱為馬德哈瓦數列或π的萊布尼茨公式[67]。瑪達瓦在1400年用無窮級數計算π到第11位小數,但在1430年一位波斯數學家卡西利用多邊形算法否定了他算的的結果[68]。

長髮艾薩克·牛頓的畫像
艾薩克·牛頓利用無窮級數計算π到第15位,後來寫道:「我很羞愧的告訴你我為了這個計算用了多少個數字。」[69]
歐洲第一個發現的無窮項圓周率公式是無窮乘積(和一般用來計算π的無窮級數不同),由法國科學家弗朗索瓦·韋達在1593年發現[4]:187[70]:

{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }
約翰·沃利斯在1655年發現了沃利斯乘積,是歐洲第二個發現的無窮項圓周率公式[4]:187:

{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots }{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots }
微積分學是由英國科學家艾薩克·牛頓及德國數學家戈特弗里德·萊布尼茨在1660年代發明,因此也出現許多計算π的無窮級數。牛頓自己就利用反正弦({\displaystyle \arcsin }{\displaystyle \arcsin })數列在1655年或1666年將π近似到第15位小數,後來寫到「我很羞愧的告訴你我為了這個計算用了多少個數字,我當時沒有做其他的事。」[69]

蘇格蘭數學家詹姆斯·格雷果里在1671年發現了馬德哈瓦公式,萊布尼茨也在1674年發現:[4]:188–189[71]

{\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }{\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }
這個公式即為格雷果里-萊布尼茨公式,在{\displaystyle z=1}z=1時數值為{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}{\frac {\pi }{4}}。[71]1699年時英國數學家亞伯拉罕·夏普用格雷果里-萊布尼茨公式,在{\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}{\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}時計算,計算到了{\displaystyle \pi }\pi 的第71位小數,打破由多邊形算法得到的第39位小數的記錄。[4]:189格雷果里-萊布尼茨公式在{\displaystyle z=1}z=1時非常簡單,但收斂到最終值的速度非常慢,因此現在不再會用此公式來計算{\displaystyle \pi }\pi 。[4]:156

約翰·梅欽在1706年利用格雷果里-萊布尼茨級數產生了一個可以快速收斂的公式:[4]:192–193

{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}
梅欽用這個公式計算到{\displaystyle \pi }\pi 的第100位小數[4]:72–74後來其他數學家也發展了一些類似公式,現在稱為梅欽類公式,創下了許多計算{\displaystyle \pi }\pi 位數的記錄。[4]:72–74在進入電腦時代時,梅欽類公式仍然是個耳熟能詳的可以計算{\displaystyle \pi }\pi 的公式,而且在約250年的時間裡,很多有關{\displaystyle \pi }\pi 位數的記錄都是梅欽類公式所得,比如在1946年時由達尼爾·弗格森(Daniel Ferguson)用這類公式計算到第620位小數,是在沒有計算設備輔助下的最佳紀錄。[4]:192–196, 205

1844年,計算天才扎卡里亞斯·達斯在德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯的要求下以梅欽類公式心算了{\displaystyle \pi }\pi 的200個小數位,並創下紀錄。[4]:194-196英國數學家威廉·謝克斯花了15年的時間計算π到小數707位,不過中間在第528位小數時出錯,因此後面的小數也都不正確。[4]:194–196

收斂速度
有些π的無窮級數收斂的比其他級數要快,數學家一般會選用收斂速度較快的級數,可以在較少的計算量下計算{\displaystyle \pi }\pi ,且達到需要的準確度[72][4]:15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202。以下是π的萊布尼茨公式:[4]:69–72

{\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }{\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }
隨著一項一項的值加入總和中,只要項次夠多,總和最後會慢慢接近{\displaystyle \pi }\pi 。不過此數列的收斂速度很慢,要到500,000項之後,才會精確到{\displaystyle \pi }\pi 的第五小數[73]。

尼拉卡莎在15世紀發展了另一個{\displaystyle \pi }\pi 的無窮級數,其收斂速度較格雷果里-萊布尼茨公式要快很多,該級數為:[74]

{\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots }{\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots }
以下比較二個級數的收斂速率:

{\displaystyle \pi }\pi 的無窮級數 第1項 前2項 前3項 前4項 前5項 收斂到:
{\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}\cdots .}{\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}\cdots .} 4.0000 2.6666... 3.4666... 2.8952... 3.3396... π = 3.1415...
{\displaystyle \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}\cdots .}{\displaystyle \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}\cdots .} 3.0000 3.1666... 3.1333... 3.1452... 3.1396...
計算前5項後,格雷果里-萊布尼茨級數的和跟{\displaystyle \pi }\pi 的誤差為0.2,而尼拉卡莎級數和的誤差為0.002。尼拉卡莎級數收斂的快很多,因此也比較適合用來計算{\displaystyle \pi }\pi 的數值。收斂更快的級數有梅欽類公式及楚德諾夫斯基算法,後者每計算一項就可以得到14位正確的小數值數[72]。

無理性與超越性
參見:林德曼-魏爾斯特拉斯定理
並非所有和{\displaystyle \pi }\pi 有關的研究都旨在提高計算它的準確性。1735年,歐拉解決了巴塞爾問題,因而建立了所有平方數倒數和與{\displaystyle \pi }\pi 的關係。之後歐拉發現了歐拉乘積公式,得到了{\displaystyle \pi }\pi 、質數的重要關聯,對日後黎曼ζ函數的研究影響深遠。[75]

{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }
1761年,瑞士數學家約翰·海因里希·朗伯利用正切函數的無窮連分數表達式證明了{\displaystyle \pi }\pi 是無理數。[4]:5[76]1794年,法國數學家阿德里安-馬里·勒壤得證明了{\displaystyle \pi ^{2}}\pi^2也是無理數。1882年,德國數學家費迪南德·馮·林德曼證明了對任何非零代數數{\displaystyle \alpha }\alpha ,{\displaystyle e^{\alpha }}{\displaystyle e^{\alpha }}都是超越數,該結論後來由魏爾斯特拉斯推廣為林德曼-魏爾斯特拉斯定理。據此定理和歐拉公式,{\displaystyle \pi }\pi 只能是超越數,進而證實了勒壤得和歐拉提出的{\displaystyle \pi }\pi 超越性猜想。[4]:196[77]哈代在其著作《數論導引》中則稱此證明在提出後,經過希爾伯特、施瓦次和其他一些人化簡過。[78]

{\displaystyle \pi }\pi 符號的引入

萊昂哈德·歐拉在他在1736年到1748年的作品中開始使用希臘字母π表示圓周率,因此也開始廣為數學界使用
在用π專指「圓周率」之前,希臘字母即已用於幾何概念中[4]:166。威廉·奧特雷德在1647年起在《數學之鑰》(Clavis Mathematicae)就已經用{\displaystyle \pi }\pi 及{\displaystyle \delta }\delta (對應p和d的希臘字母)來表示圓的周長及直徑的比例。

威廉·瓊斯在他1706年出版的《新數學導論》(A New Introduction to the Mathematics)中提到了{\displaystyle \pi }\pi ,是目前已知最早專門用希臘字母{\displaystyle \pi }\pi 表示圓周和其直徑比例的人[79]。這個希臘字母的第一次出現,是在書中討論一個半徑為1的圓時,提到「其圓周長的一半({\displaystyle \pi }\pi )」。瓊斯選用了{\displaystyle \pi }\pi 的原因可能是因為它是希臘文中「周邊」一詞「περιφέρεια」的第一個字[80]。不過瓊斯提到,他的那些有關{\displaystyle \pi }\pi 的算式是出自「真正聰明的約翰·梅欽先生」,因此人們推測在瓊斯之前,約翰·梅欽就已經開始使用此希臘字母表示圓周率[4]:166。

瓊斯是在1706年開始使用此希臘字母,但直到萊昂哈德·歐拉在其1736年出版的《力學》中開始使用之後,其他的數學家們才紛紛開始用{\displaystyle \pi }\pi 來指代圓周率。在此之前,數字家可能用像c或p之類的字母代表圓周率[4]:166。因為歐拉與歐洲其他數學家之間時常互相寫信來往,{\displaystyle \pi }\pi 的用法迅速傳播開來[4]:166。1748年歐拉在他的《無窮小分析引論》再一次提到了{\displaystyle \pi }\pi ,寫道:「為了簡潔起見,我們將此數字寫為{\displaystyle \pi }\pi ,{\displaystyle \pi }\pi 等於半徑為1的圓周長的一半。」這個表示方式之後也推展到整個西方世界[4]:166。

現代數值近似
計算機時代與疊代算法
一位穿著西裝男士的照片
約翰·馮·諾伊曼所在的團隊是第一個用數位計算機ENIAC來計算π的
高斯-勒壤得算法:
一開始設定
{\displaystyle \scriptstyle a_{0}=1\quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad t_{0}={\frac {1}{4}}\quad p_{0}=1}{\displaystyle \scriptstyle a_{0}=1\quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad t_{0}={\frac {1}{4}}\quad p_{0}=1}
疊代計算:{\displaystyle \scriptstyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}}{\displaystyle \scriptstyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}}

{\displaystyle \scriptstyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad p_{n+1}=2p_{n}}{\displaystyle \scriptstyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad p_{n+1}=2p_{n}}
則π的估計值為

{\displaystyle \scriptstyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}}{\displaystyle \scriptstyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}}
二十世紀中期計算機技術的發展、革新再次引發了計算π位數的熱潮。美國數學家約翰·倫奇及李維·史密斯在1949年利用桌上型計算機計算到1,120位[4]:205。同年,喬治·韋斯納(George Reitwiesner)及約翰·馮·諾伊曼帶領的團隊利用反三角函數(arctan)的無窮級數,通過ENIAC計算到了小數第2,037位,花了70小時的電腦工作時間[81]。這一紀錄後來多次由其他透過arctan級數計算出的結果打破(1957年到7480位小數,1958年到第一萬位數,1961年到第十萬位小數),直到1973年,人們計算出了小數點後的第一百萬位小數[4]:197。

1980年代的兩項發明加速了{\displaystyle \pi }\pi 的計算。第一項是人們發現了新的的疊代法去計算π的值,其計算速度比無窮級數會要快很多。另一項是人們發現了可以快速計算大數字乘積的乘法演算法[4]:15–17。這類演算法在現代π的計算上格外的重要,因為電腦大部分的工作時間都是在計算乘法[4]:131。這類演算法包括Karatsuba算法、Toom–Cook乘法及以傅立葉變換為基礎的乘法演算法(傅立葉乘法)[4]:132, 140。

疊代演算法最早是在1975年至1976年間分別由美國物理學家尤金·薩拉明及奧地利科學家理查·布蘭特獨立提出[4]:87。這兩個演算法沒有依賴無窮級數來計算。疊代會重覆一個特定的計算,將前一次的計算結果作為這一次的輸入值,使得計算結果漸漸的趨近理想值。此方式的原始版本其實是在160年前由卡爾·弗里德里希·高斯提出,現在稱為算術-幾何平均數算法(AGM法)或高斯-勒壤得算法[4]:87。因為薩拉明及布蘭特都曾對此進行修改,因此這個算法也稱為薩拉明-布蘭特演算法。

疊代演算法因為收斂速度比無窮級數快很多,在1980年代以後廣為使用。無窮級數隨著項次的增加,一般來說正確的位數也會增加幾位,但疊代演算法每多一次計算,正確的位數會呈幾何級數增長。例如薩拉明-布蘭特演算法每多一次計算,正確位數會是之前的二倍。1984年加拿大人喬納森·波溫及彼得·波溫提出一個疊代演算法,每多一次計算,正確位數會是之前的四倍,1987年時有另一個疊代演算法,每多一次計算,正確位數會是之前的五倍[82]。日本數學家金田康正使用的演算法在1955年及2002年之間創下了若干個紀錄[83]。不過疊代演算法的快速收斂也有其代價,因為這個算法需要的內存的大小明顯的要比無窮級數要多[83]。

計算{\displaystyle \pi }\pi 的意義

當數學家發現新的算法、電腦變得普及時,π的已知小數位急劇增加。注意垂直座標使用了對數座標。
一般而言,{\displaystyle \pi }\pi 值並不需要過於精確便能夠滿足大部分的數學運算的需求。按照約爾格·阿恩特(Jörg Arndt)及克里斯托夫·黑內爾(Christoph Haenel)的計算,39個數位已足夠運算絕大多數的宇宙學的計算需求,因為這個精確度已能夠將可觀測宇宙圓周的精確度準確至一個原子大小[7]。 儘管如此,人們仍然是奮力地運算出{\displaystyle \pi }\pi 小數點後的上千甚至上百萬個數位[4]:17–19。這一部分是出於人類對打破記錄的衝動,因為那些和{\displaystyle \pi }\pi 有關的成就往往成為世界各地的新聞頭條[84][85]。此外,這其中也有一些實際的好處,例如測試超級計算機、測試數值分析算法等(包括高精度乘法算法)。在純粹數學的領域中,計算{\displaystyle \pi }\pi 的位數也能讓人們來評定π的隨機性[4]:18。

快速收斂級數
一位男士的肖像
斯里尼瓦瑟·拉馬努金的肖像,他在印度獨立工作時提出了許多新穎的計算{\displaystyle \pi }\pi 的數列。
現代計算{\displaystyle \pi }\pi 的程序不僅僅局限於疊代算法。20世紀80與90年代,人們發現了一些可用來計算{\displaystyle \pi }\pi 的新無窮級數,其收斂速度可與疊代算法媲美,而又有著複雜度、內存密集度更低的優勢。[83]印度數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金是這方面的先驅,他在1914年發表了許多與{\displaystyle \pi }\pi 相關的公式,這些公式十分新穎,極為優雅而又頗具數學深度,收斂速度也非常快。[4]:103–104下式即為一例,其中用到了模方程:

{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}(396^{4k})}}.}{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}(396^{4k})}}.}
這個無窮級數收斂速度遠快於絕大多數反正切數列,包括梅欽公式。[4]:104第一位使用拉馬努金公式計算{\displaystyle \pi }\pi 並取得進展的是比爾·高斯珀,他在1985年算得了小數點後一千七百萬位。[4]:104, 206拉馬努金公式開創了現代數值近似算法的先河,此後波爾文兄弟和楚德諾夫斯基兄弟進一步發展了這類算法。[4]:110–111後者於1987年提出了楚德諾夫斯基公式,如下所示:

{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}.}{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}.}
此公式每計算一項就能得到{\displaystyle \pi }\pi 的約14位數值[86],因而用於突破圓周率的數位的計算。利用這個公式,楚德諾夫斯基兄弟於1989年算得{\displaystyle \pi }\pi 小數點後10億(109)位,法布里斯·貝拉於2009年算得2.7千億(2.7×1012)位,亞歷山大·易和近藤滋在2011年算得一萬億(1013)位。[4]:110–111, 206[87][88]類似的公式還有拉馬努金-佐藤級數。

2006年,加拿大數學家西蒙·普勞夫利用PSLQ整數關係算法[89]按照以下模版生成了幾個計算{\displaystyle \pi }\pi 的新公式:

{\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),}{\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),}
其中{\displaystyle q}q為e{\displaystyle \pi }\pi ,{\displaystyle k}k是一個奇數,{\displaystyle a,b,c}a,b,c是普勞夫計算出的有理常數。[90]

蒙特卡洛方法
長度為ℓ的針散落在畫滿間距為t的平行線的平面上
布豐投針問題,多枚長度為ℓ的針隨機地拋擲向平面。
大量的點隨機的散落在一個內切四分之一圓的正方形內
隨機地往內切四分之一圓的正方形內拋擲大量的點。
蒙特卡洛方法基於隨機試驗結果計算{\displaystyle \pi }\pi 的近似值
蒙特卡洛方法是以機率統計理論為指導的一類非常重要的數值計算方法,通過進行大量重複試驗計算事件發生的頻率,按照大數定律(即當試驗次數充分大時,頻率充分地接近於機率)可以求得{\displaystyle \pi }\pi 的近似值[91]。 布豐投針問題就是其中一個應用的例子:當一枚長度為{\displaystyle l}l的針隨機地往一個畫滿間距為{\displaystyle t\left(l\leq t\right)}{\displaystyle t\left(l\leq t\right)}的平行線的平面上拋擲{\displaystyle n}n次, 如果針與平行直線相交了{\displaystyle m}m次,那麼當{\displaystyle n}n充分大時就可根據以下公式算出{\displaystyle \pi }\pi 的近似值[92]:

{\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{mt}}}{\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{mt}}}
另一個利用蒙特卡羅方法計算{\displaystyle \pi }\pi 值的例子是隨機地往內切四分之一圓的正方形內拋擲大量的點,落在四分之一圓內的點的數量與拋擲點的總量的比值會近似等於{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}{\frac {\pi }{4}}.[4]:39–40[93]


此外,還可以通過進行隨機漫步試驗,並利用蒙特卡羅方法計算{\displaystyle \pi }\pi 值,如拋擲一枚均勻的硬幣{\displaystyle N}N次,並記錄正面朝上的次數,所得結果中,正面朝上的次數{\displaystyle n_{N}}{\displaystyle n_{N}}服從二項分布且

{\displaystyle \Pr(n_{N}=m)={\binom {N}{m}}({\frac {1}{2}})^{m}({\frac {1}{2}})^{N-m}}{\displaystyle \Pr(n_{N}=m)={\binom {N}{m}}({\frac {1}{2}})^{m}({\frac {1}{2}})^{N-m}}
因為硬幣均勻,所以N次試驗中每次試驗結果相互獨立。由此可定義一系列獨立的隨機變量{\displaystyle X_{k}\left(k=1,2,\ldots \right)}{\displaystyle X_{k}\left(k=1,2,\ldots \right)},當拋擲結果為正面時{\displaystyle X_{k}=1}{\displaystyle X_{k}=1}否則為-1,且{\displaystyle X_{k}=\pm 1}{\displaystyle X_{k}=\pm 1}且取何值具有相同的機率(即,正面朝上和背面朝上的機率相同)。對隨機變量{\displaystyle X_{k}\left(k=1,2,\ldots ,N\right)}{\displaystyle X_{k}\left(k=1,2,\ldots ,N\right)}求和可得

{\displaystyle W_{N}=\sum _{k=1}^{N}X_{k}}{\displaystyle W_{N}=\sum _{k=1}^{N}X_{k}}
設k為「硬幣正面朝上的次數」減去「硬幣反面朝上的次數」,即可得到{\displaystyle m-\left(N-m\right)=k}{\displaystyle m-\left(N-m\right)=k}。對式子進行變換,得{\displaystyle m={\frac {N+k}{2}}}{\displaystyle m={\frac {N+k}{2}}},因此

{\displaystyle \Pr(W_{N}=k)={\binom {N}{\frac {N+k}{2}}}{\frac {1}{2^{N}}}}{\displaystyle \Pr(W_{N}=k)={\binom {N}{\frac {N+k}{2}}}{\frac {1}{2^{N}}}},其中{\displaystyle k=-N,-N+2,-N+4,\ldots ,N-2,N}{\displaystyle k=-N,-N+2,-N+4,\ldots ,N-2,N}。
可以證明[94],

{\displaystyle E(W_{N})=0}{\displaystyle E(W_{N})=0},{\displaystyle E(W_{N}^{2})=N}{\displaystyle E(W_{N}^{2})=N},以及{\displaystyle E(|W_{N}|)={\binom {N}{\left\lceil {N/2}\right\rceil {\frac {\left\lceil {N/2}\right\rceil }{2^{N-1}}}}}={\begin{cases}{\frac {(N-1)!!}{(N-2)!!}}&{\mbox{For }}N{\mbox{ even}}\\{\frac {N!!}{(N-1)!!}}&{\mbox{For }}N{\mbox{ odd}}\end{cases}}}{\displaystyle E(|W_{N}|)={\binom {N}{\left\lceil {N/2}\right\rceil {\frac {\left\lceil {N/2}\right\rceil }{2^{N-1}}}}}={\begin{cases}{\frac {(N-1)!!}{(N-2)!!}}&{\mbox{For }}N{\mbox{ even}}\\{\frac {N!!}{(N-1)!!}}&{\mbox{For }}N{\mbox{ odd}}\end{cases}}}
並且當{\displaystyle N}N變大時,{\displaystyle E\left(\left\vert W_{N}\right\vert \right)}{\displaystyle E\left(\left\vert W_{N}\right\vert \right)}的值會漸近於{\displaystyle {\sqrt {\frac {2N}{\pi }}}}{\displaystyle {\sqrt {\frac {2N}{\pi }}}},因此當{\displaystyle N}N充分大時可根據以下公式算出{\displaystyle \pi }\pi 的近似值:[95]

{\displaystyle \pi \approx {\frac {2N}{|W_{N}|^{2}}}}{\displaystyle \pi \approx {\frac {2N}{|W_{N}|^{2}}}}
和其他計算{\displaystyle \pi }\pi 值的方法相比,蒙特卡洛方法收斂速度很慢,而且無論進行多少次實驗,都無從得知{\displaystyle \pi }\pi 的估值已經精確到了第幾位。因此,當追求速度或精度時,蒙特卡洛方法不適合用來估計{\displaystyle \pi }\pi 。[4]:43[96]

閥門算法
1995年引入的兩個算法開闢了研究{\displaystyle \pi }\pi 的新途徑。因為每計算出一位數字,該數就會像流過閥門的水一樣不會再出現在後續的計算過程中,這種新進算法叫做閥門算法。[4]:77–84[97]這就與無窮級數及疊代算法形成對比——無窮級數和疊代算法自始至終的每一步計算都會涉及到之前所有步驟計算出的中間值。[4]:77–84

1995年,美國數學家斯坦·華格納和斯坦利·拉比諾維茨(Stanley Rabinowitz)發明了一種簡單的閥門算法[97][4]:77[98],其運算速度類似arctan演算法,但速度比疊代算法要慢[4]:77。

貝利-波爾溫-普勞夫公式(BBP)是另一個閥門算法,屬於一種位數萃取演算法。1995年,西蒙·普勞夫等人發現[4]:117, 126–128[99]

{\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)}{\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)}
這個公式和其他的公式不同,可以在十六進位下計算{\displaystyle \pi }\pi 的任意位數小數,而不用計算所有前面的小數位數[4]:117, 126–128。一個十六進位下的數位可計算得到特定一個二進位的數位;想要得到一個八進位數位的話,計算一、兩個十六進位小數即可。目前也已發現一些這種演算法的變體,不過人們還沒有發現針對十進制、可以快速產生特定位數小數數字的位數萃取演算法[100]。位數萃取演算法的一個重要用途是用來確認聲稱是計算到{\displaystyle \pi }\pi 小數位數的新記錄:若有聲稱是新紀錄的計算結果出現,先將十進制的數值轉換到十六進制,再用貝利-波爾溫-普勞夫公式,去確認最後的一些位數(用亂數決定),若這些位數都對,人們就能有一定把握認為此計算結果是對的[88]。

在1998年到2000年之間,分布式計算計畫PiHex利用貝拉公式(貝利-波爾溫-普勞夫公式的一種變體)計算{\displaystyle \pi }\pi 的第1015個位,結果是0[4]:20[101]。在2010年9月,一名雅虎員工利用公司的Apache Hadoop應用程式在上千台電腦上計算{\displaystyle \pi }\pi 在2×1015個數位開始,往後數的256個位,其第2×1015個位剛好也是0[102]。

用途
由於{\displaystyle \pi }\pi 與圓密切相關,故它出現在許多幾何學和三角學的公式中(特別是與圓、球體和橢圓相關的那些)。 此外,{\displaystyle \pi }\pi 也出現在其他學科的重要公式中,比如統計學、物理學,傅立葉分析和數論的公式。

幾何學與三角學
圓右上四分之一處覆蓋在正方形下的圖。
圓的面積等於{\displaystyle \pi }\pi 乘以陰影部分面積。
{\displaystyle \pi }\pi 出現在基於圓的幾何圖形(如橢圓、球、圓錐與環面)的面積、體積公式中。下面是一些涉及到{\displaystyle \pi }\pi 的較常見公式:[6]

半徑為{\displaystyle r}r的圓周長為{\displaystyle 2\pi r}{\displaystyle 2\pi r}。
半徑為{\displaystyle r}r的圓的面積為{\displaystyle \pi r^{2}}\pi r^{2}。
半徑為{\displaystyle r}r的球的體積為{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}。
半徑為{\displaystyle r}r的球面的面積為{\displaystyle 4\pi r^{2}}4\pi r^{2}。
上述公式是n 維球的體積與其邊界((n−1) 維球的球面)的表面積的特殊情況,具體將在後文給出解釋。

描述由圓產生的圖形的周長、面積或體積的定積分通常會涉及到{\displaystyle \pi }\pi 。例如,表示半徑為1的半圓的面積的積分為:[103]

{\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}{\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}
由於{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}\sqrt{1-x^2}的積分表示上半圓(此處的平方根由勾股定理得出), 從-1到1的積分{\displaystyle \int _{-1}^{x}}{\displaystyle \int _{-1}^{x}}可用來計算計算半圓與x 軸之間的面積。

函數圖象
正弦和餘弦函數的重複周期為 2π。
三角函數要用到角,而數學家們常常用弧度作為角度的單位。{\displaystyle \pi }\pi 在弧度制中起著重要作用,數學家將一個周角,即角度 360°,定義為{\displaystyle 2\pi }2\pi 弧度。[104]由這條定義可得,角度 180° 等於{\displaystyle \pi }\pi 弧度,角度{\displaystyle 1^{\circ }={\frac {\pi }{180^{\circ }}}}{\displaystyle 1^{\circ }={\frac {\pi }{180^{\circ }}}}弧度。[104]因此,常用的三角函數的周期為{\displaystyle \pi }\pi 的倍數;例如,正弦和餘弦周期為{\displaystyle 2\pi }2\pi ,[105]對於任何角度{\displaystyle \theta }\theta 和任何整數{\displaystyle k}k,都有

{\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)}{\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)},以及 {\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}{\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}[105]
拓撲學

克萊因四次方的單值化,虧格為3且歐拉特徵值為−4的面,作為雙曲面與菲諾平面的對稱群PSL(2,7)的商。根據高斯-博內定理,基本域的雙曲面積為8π.
常數{\displaystyle \pi }\pi 出現在將平面微分幾何及其 拓撲學聯繫起來的高斯-博內定理中。具體來說,如果一個緊曲面Σ的高斯曲率為{\displaystyle K}K,那麼有

{\displaystyle \int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma )}{\displaystyle \int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma )},
其中{\displaystyle \chi (\Sigma )}{\displaystyle \chi (\Sigma )}是該曲面的歐拉示性數,是一個整數。[106]例如,一個曲率為1(也就是說其曲率半徑也為1,對於球面而言此時的曲率半徑與半徑重合)的球面{\displaystyle S}S的表面積。球面的歐拉特徵數可以通過其同源組計算,其結果為2。於是,便得出

{\displaystyle A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi }{\displaystyle A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi }
即為半徑為1的球面的表面積公式。

常數{\displaystyle \pi }\pi 還出現在拓撲學的許多其他的積分公式中,特別是那些涉及通過陳-韋伊同態的特徵類[107]。

向量分析

向量分析的方法可以通過分解成球諧函數來理解(圖示)
向量分析是與向量場的性質有關的微積分的分支,並有許多物理應用,例如應用在電磁學中。位於三維笛卡爾座標系原點的點源{\displaystyle Q}Q的牛頓位勢為[108]

{\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {kQ}{|\mathbf {x} |}}}{\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {kQ}{|\mathbf {x} |}}}
表示位於距原點{\displaystyle \left\vert {\boldsymbol {x}}\right\vert }{\displaystyle \left\vert {\boldsymbol {x}}\right\vert }的單位質量(或電荷)的勢能,而{\displaystyle k}k是維度常數。在這裡由{\displaystyle \mathrm {E} }{\displaystyle \mathrm {E} }表示的場可以是(牛頓)引力場或(庫侖)電場,是位勢的負梯度:

{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V.}{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V.}
特殊情況有庫侖定律和牛頓萬有引力定律。高斯定律表明,通過包含原點的任何平滑、簡單、封閉、可定向曲面{\displaystyle S}S的場的向外通量等於{\displaystyle 4\pi kQ}{\displaystyle 4\pi kQ}:

{\displaystyle 4\pi kQ=}{\displaystyle 4\pi kQ=}{\displaystyle \oiint }{\displaystyle \oiint }\oiint{\displaystyle {\scriptstyle S}}{\scriptstyle S}{\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }{\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }
標準形式會將{\displaystyle 4\pi }4\pi 的這個因子吸收到常數{\displaystyle k}k中,但這種說法表明了它必須出現在「某處」。此外,{\displaystyle 4\pi }4\pi 是單位球面的表面積,但並沒有假設{\displaystyle S}S是球面。然而,作為散度定理的結果,由於遠離原點的區域是真空(無源的),只有{\displaystyle \mathrm {R} ^{3}\setminus \left\{0\right\}}{\displaystyle \mathrm {R} ^{3}\setminus \left\{0\right\}}中的表面{\displaystyle S}S的同調類與計算積分有關,因此可以由相同同調類中的任何方便的表面代替,特別是球形,因為球面座標可以用於計算積分。

高斯定律的結果之一是位勢{\displaystyle V}V的負拉普拉斯算子等於狄拉克δ函數的{\displaystyle 4\pi kQ}{\displaystyle 4\pi kQ}倍:

{\displaystyle \Delta V(\mathbf {x} )=-4\pi kQ\delta (\mathbf {x} ).}{\displaystyle \Delta V(\mathbf {x} )=-4\pi kQ\delta (\mathbf {x} ).}
通過卷積就能得到物質(或電荷)的更一般分布,給出泊松方程

{\displaystyle \Delta V(\mathbf {x} )=-4\pi k\rho (\mathbf {x} )}{\displaystyle \Delta V(\mathbf {x} )=-4\pi k\rho (\mathbf {x} )}
其中{\displaystyle \rho }\rho 是分布函數。


愛因斯坦方程表明,時空的曲率是由其中的物質能量產生的。
常數{\displaystyle \pi }\pi 在與愛因斯坦場方程中的四維勢起類似的作用,愛因斯坦方程是形成廣義相對論基礎的一個基本公式,並且把引力的基本相互作用描述為物質和能量引起的時空彎曲的結果:[109]

{\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu },}{\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu },}
其中{\displaystyle R_{\mu v}}{\displaystyle R_{\mu v}}是里奇曲率張量,{\displaystyle R}R是純量曲率,{\displaystyle g_{\mu v}}{\displaystyle g_{\mu v}}是度量張量,{\displaystyle \Lambda }\Lambda 是宇宙學常數,{\displaystyle G}G是萬有引力常數,{\displaystyle c}c是真空中的光速,而{\displaystyle T_{\mu v}}{\displaystyle T_{\mu v}}是應力-能量張量。愛因斯坦方程的左邊是度量張量的拉普拉斯算子的非線性模擬,並化簡(reduce)至在弱域的極限,而右邊是分布函數的模擬乘以{\displaystyle 8\pi }{\displaystyle 8\pi }。

柯西積分公式

複雜的解析函數可以以一系列的流綫和等電位綫(許多以直角相交的曲綫)視覺化,圖中是伽瑪函數的複數對數。
在複分析中,沿複數平面若爾當曲線的圍道積分是研究解析函數的重要手段之一。簡化版的柯西積分公式表明,對任意若爾當曲線{\displaystyle \gamma }\gamma 內任一點{\displaystyle z_{0}}z_0,以下圍道積分給出{\displaystyle
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