台灣知識種子計畫志工召募中,請參看WSOTK粉絲團。
[關閉]
這是優良條目,請按此取得更多資訊。
圓周率
維基百科,自由的百科全書
跳至導覽跳至搜尋
各式各樣的數
基本
{\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} NumberSetinC.svg
正數 {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}{\mathbb {R}}^{+}
自然數 {\displaystyle \mathbb {N} }\mathbb{N}
正整數 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}{\mathbb {Z}}^{+}
小數
有限小數
無限小數
循環小數
有理數 {\displaystyle \mathbb {Q} }\mathbb{Q}
代數數 {\displaystyle \mathbb {A} }\mathbb{A}
實數 {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R}
複數 {\displaystyle \mathbb {C} }\mathbb {C}
高斯整數 {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}\mathbb{Z}[i]
負數 {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}\mathbb{R}^-
整數 {\displaystyle \mathbb {Z} }\mathbb {Z}
負整數 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}{\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分數
單位分數
二進分數
規矩數
無理數
超越數
虛數 {\displaystyle \mathbb {I} }{\mathbb {I}}
二次無理數
艾森斯坦整數 {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
延伸
二元數
四元數 {\displaystyle \mathbb {H} }{\mathbb {H}}
八元數 {\displaystyle \mathbb {O} }\mathbb{O}
十六元數 {\displaystyle \mathbb {S} }\mathbb {S}
超實數 {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
大實數
上超實數
雙曲複數
雙複數
複四元數
共四元數
超複數
超數
超現實數
其他
質數 {\displaystyle \mathbb {P} }\mathbb {P}
可計算數
基數
艾禮富數
同餘
整數數列
公稱值
規矩數
可定義數
序數
超限數
p進數
數學常數
圓周率 {\displaystyle \pi =3.141592653\dots }{\displaystyle \pi =3.141592653\dots }
自然對數的底 {\displaystyle e=2.718281828\dots }{\displaystyle e=2.718281828\dots }
虛數單位 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
無窮大 {\displaystyle \infty }\infty
圓周率是一個數學常數,為一個圓的周長和其直徑的比率,近似值約等於3.14159,常用符號{\displaystyle \pi }\pi 來表示。
因為{\displaystyle \pi }\pi 是一個無理數,所以它不能用分數完全表示出來(即它的小數部分是一個無限不循環小數)。當然,它可以用像{\displaystyle {\frac {22}{7}}}{\frac {22}{7}}般的有理數的近似值表示。{\displaystyle \pi }\pi 的數字序列被認為是隨機分布的,有一種統計上特別的隨機性,但至今未能證明。此外,{\displaystyle \pi }\pi 還是一個超越數——它不是任何有理數係數多項式的根。由於{\displaystyle \pi }\pi 的超越性質,化圓為方的問題不可能用尺規作圖解決。
幾個文明古國在很早就需要計算出{\displaystyle \pi }\pi 的較精確的值以便於生產中的計算。公元5世紀時,中國劉宋數學家祖沖之用幾何方法將圓周率計算到小數點後7位數字。大約同一時間,印度的數學家也將圓周率計算到小數點後5位。歷史上首個{\displaystyle \pi }\pi 的精確無窮級數公式(即π的萊布尼茨公式)直到約1000年後才由印度數學家發現。[1][2]在20和21世紀,由於計算機技術的快速發展,藉助計算機的計算使得{\displaystyle \pi }\pi 的精度急速提高。截至2020年,{\displaystyle \pi }\pi 的十進位精度已高達5×1013位。[3]當前人類計算{\displaystyle \pi }\pi 的值的主要目的是為打破記錄、測試超級計算機的計算能力和高精度乘法算法,因為幾乎所有的科學研究對{\displaystyle \pi }\pi 的精度要求都不會超過幾百位。[4]:17[5]
因為{\displaystyle \pi }\pi 的定義中涉及圓,所以{\displaystyle \pi }\pi 在三角學和幾何學的許多公式,特別是在圓形、橢球形或球形相關公式中廣泛應用。[6]由於{\displaystyle \pi }\pi 用於特徵值這一特殊作用,它也在一些數學和科學領域(例如數論和統計中計算數據的幾何形狀)中出現,也在宇宙學,熱力學,力學和電磁學中有所出現。[7]{\displaystyle \pi }\pi 的廣泛應用使它成為科學界內外最廣為人知的常數之一。人們已經出版了幾本專門介紹{\displaystyle \pi }\pi 的書籍,圓周率日(3月14日)和{\displaystyle \pi }\pi 值計算突破記錄也往往會成為報紙的新聞頭條。[8]此外,背誦{\displaystyle \pi }\pi 值的世界記錄已經達到100,000位的精度。[9]
目錄
1 基本概念
1.1 名稱
1.2 定義
1.3 無理性及正規性
1.4 超越性
1.5 連分式
1.6 近似值
1.7 複數與歐拉恆等式
1.8 譜特徵
1.9 高斯積分
2 歷史
2.1 遠古時期
2.2 &#x