GEB 第二季回归！不管是热爱科技热点的催更粉丝，还是和喜欢数学底层逻辑的硬核理科生，为满足所有听众的需求，本季将穿插热点话题，保证更新。
（免责声明：这段话是过年期间，谁料年后风云突变，全球变疯，遂把最后一句改成“争取保证更新”）。
本期进入GEB第三章——图形与衬底，录前预感是场脑洞盛宴，录后没想到居然聊出了DeepSeek的底层逻辑；及其他有趣的话题：创新与追随、开源与闭源、深度学习与强化学习等等。
开始烧脑吧！
时间戳：
(00:03:37) 信息量爆炸的“无伴奏阿基里斯奏鸣曲”独白
(00:07:30) “昔”+“火”= “蜡烛”;为什么图形与衬底与数学的精确性相悖？
(00:18:42) 什么是“倍流畅图形”：哥德尔不完备定理能被画出来吗？
(00:37:35) 什么是“递归可枚举集”：我妈给我一袋混装糖，让我“慢慢找所有草莓味的”
(00:50:06) 真理与谬误能“互换”吗？
(00:56:16) DeepSeek之问：“生成性”与“判定性”是不是智能的本质区别？
(01:03:44) “生成式”人工智能（GPT）真的有智能吗？智能是不是一种“系统外”的东西？
(01:08:57) 数学世界可以互换，真实世界呢？《道德经》和量子的启示
剪辑：小碗
文字总结版：
(00:03:37) 信息量爆炸的“无伴奏阿基里斯奏鸣曲”独白
第三章序曲：这段名为“无伴奏阿基里斯奏鸣曲”的对话，特别之处在于：只有阿基里斯的独白。信息量爆炸，隐喻超标。
阿基里斯接到乌龟电话，得知乌龟因“窝颈症”脖子不适。病因是乌龟盯着埃舍尔1957年的画作《镶嵌画2》太久。画中黑白动物互为图形和衬底，引出本章核心概念。乌龟在画中看到螃蟹和吉他。阿基里斯则提到巴赫的无伴奏小提琴曲，将巴赫引入讨论。
随后，乌龟停电，引出字谜游戏。乌龟失眠，因被字谜困扰：寻找包含“昔”和“火”的词。阿基里斯尝试解答，但未成功。又一字谜出现：以“虫”开头和结尾的词是什么？阿基里斯自言自语中，透露乌龟在停电时灵感迸发，解开了字谜。
值得注意的是，解开字谜的关键在于埃舍尔的画作——图形和衬底的概念。如同画中白天鹅的黑色羽毛是黑色蝙蝠的轮廓，字谜也需用同样的逻辑解构。
建议在阅读这段原作时，打开《镶嵌画2》，并播放巴赫的无伴奏小提琴曲，体验奇妙的氛围。但这段奇怪的独白式对话该如何解读？
(00:07:30) “昔”+“火”= “蜡烛”;为什么图形与衬底与数学的精确性相悖？
这段对话虽然只呈现了阿基里斯的部分，但如同“无伴奏阿基里斯奏鸣曲”，但却几乎包含了全部信息。通过阿基里斯的语句，读者可以推测乌龟说了什么，如同从图形的背景中看出动物形状一样。对话想表达的是：信息与其空余部分（补集、噪声）可以互换，甚至都具有价值。
字谜游戏进一步阐释了这个概念。中文版和英文版使用了不同的字谜，相当于用中文重写了故事。中文版用“昔”和“火”组合成“蜡烛”，英文版则用包含“ADAC”的单词，答案是“headache”（头痛）。阿基里斯在两版中都扮演了“笨笨”的角色，明明知道谜底，却猜不出来。 而且，中文版中停电后点蜡烛的情节与谜底“蜡烛”巧妙重合，英文版中乌龟的头痛也与谜底“headache”呼应。
此外，同样的问题还有其他答案。但它们的存在也揭示了另一个层面：即使知道对话的一部分，也无法完全还原另一半的确切内容，只能推测大概。这与数学的精确性相悖，因为数学和逻辑要求精确，不能仅凭部分信息就得出模糊的结论。
由此，暗示了：即使理解图形与衬底、知道对话的另一半内容，但如果不掌握全部信息，就无法完全理解真理或正确与错误的关系。这段对话也包含了本书后面将要讨论的许多概念，例如图形与衬底、递归、可枚举性等，但需要解读才能看出其深层含义。
(00:18:42) 什么是“倍流畅图形”：哥德尔不完备定理能被画出来吗？
埃舍尔的“镶嵌画2”和“以鸟做瓦”:第一眼看到的可能是黑色的动物，因为默认白色为背景；再次观察，会发现白色的空间也构成了动物图案。黑色和白色可以互换，分别代表图形和衬底，或正空间和负空间。侯世达将埃舍尔这种前景背景流畅转换的画作定义为“倍流畅图形”——无论以何种颜色为背景，图形都清晰流畅。
“被流畅图形”的概念在于图形和衬底的界限模糊，可以相互转化。但将这个概念引入数学形式系统后，理解起来就变得困难。侯世达将“递归”比作埃舍尔的画作，认为它也是一种“被流畅图形”，图形和衬底相互映衬。
这就引出了一个问题：如何理解递归在艺术视觉中的表现？“被流畅图形”是否是埃舍尔画作中无限循环的视觉结果？在埃舍尔画在递归中，这种特性又该如何解释？
侯世达在本章采用了一种发散性和畅想性的类比方式，并非完全精确，而是为了通过绘画的图形和衬底概念，让大家直观地理解数学和音乐中也存在类似的前景与背景关系。
哥德尔不完全性定理指出，存在一些命题，它们是真的，但却无法被证明。这与数学家的工作——证明定理——似乎相悖。如果将数学体系比作一幅画，数学家比作画家，那么数学家证明的定理就像画家在画布上画出的图形，而未被证明的非定理部分就像画布上未被着色的背景。这样一来，定理和非定理的界限似乎很分明。但哥德尔不完全性定理却指出，存在既不是定理，也不是非定理的命题，就像在画布上既不属于前景，也不属于背景的部分——令人费解。
侯世达并没有直接解答这个问题，而是引入了“流畅图形”（cursive figure）和“倍流畅图形”（recursive figure）的概念。“倍流畅图形”是侯世达自创的词，recursive 具有双关含义，既指递归，也指双倍流畅的图形，特点是前景和背景都是刻意绘制的图形。
从数学角度来看，“递归”的概念与“被流畅图形”的含义相似。递归集合的补集也是递归集合。如果将递归集合比作画作的图形部分，那么它的补集就是画作的衬底部分。因此，递归集合构成的图形就是被流畅图形，如同埃舍尔的画作，前景和背景都是清晰的图案。而大部分普通画作并非被流畅图形，它们的背景是杂乱无章的。
蒙娜丽莎前景背景分明，没了主体，背景亦不成画。埃舍尔的镶嵌画则不然，黑白互为图底，相依相成，各自独立成景。哥德尔定理亦如此，如同以系统自身代码编写的病毒，自相矛盾，无法自证真伪。
哥德尔定理如同谎言者悖论——“我这句话是说谎”，自我否定，不可证伪。试图反证，却陷入其预设的逻辑陷阱，如同埃舍尔画作，黑白互转，图底相生，除非跳出系统，别无他法。这便是侯世达所谓“俄罗斯套娃”式的嵌套悖论：每个真理内都藏着更小的悖论。
哥德尔不完全性定理的存在看似违反直觉，但它可能恰恰反映了世界的真相。埃舍尔刻意绘制的“被流畅图形”只是少数，而大部分情况如同普通图形，背景杂乱无章，难以把握。
那音乐的“图形”和“衬底”是什么？
音乐亦然。普通乐曲，右手旋律为主，左手和声为辅。巴赫的复调音乐则像量子纠缠，左右手皆独立成曲，交织演奏，却和谐共生，如同埃舍尔的双重世界，彼此独立又相互依存，共同构成完整的乐章。这正呼应了侯世达的“背流畅图形”：前景背景皆成画，构成更宏大的图景。
(00:37:35) 什么是“递归可枚举集”：我妈给我一袋混装糖，让我“慢慢找所有草莓味的”
递归可枚举集（RE）和递归集（Recursive Set）是两个重要的概念。简单来说，RE就像逐个品尝糖果，找出草莓味的。你可以列举出所有草莓味的糖，但无法确定剩下的糖中是否还有草莓味的。递归集则像按照颜色分类积木，蓝色放盒子里，其他放外面。你可以明确判断任何一块积木的归属。
形式系统，例如MIU系统，可以看作一个RE过程，从公理出发，不断推导定理。所有定理构成一个RE集。但数学家的工作更像判断一个命题是否为定理，追求的是一个递归集——所有真命题构成一个集合，并存在算法判断任何语句是否属于该集合。
递归集一定是RE集，因为可以根据判断规则列举元素。但RE集不一定是递归集，哥德尔不完备定理证明了这一点。即使可以列举所有定理（RE），也不代表可以判断所有语句是否为定理（递归）。有些真命题，即使知道是真的，也无法证明它是定理，例如哥德尔语句。
因此，形式系统中的所有定理构成一个RE集，但不是递归集。就像可以列举草莓糖，但不能判断剩下的糖是否还有草莓味。而积木分类则可以明确判断每一块的归属，构成递归集。
(00:50:06) 真理与谬误能“互换”吗？
递归可枚举集与递归集的区别，就像两种挑积木的方式：要么直接挑出所有蓝色的（递归集），要么挑出所有非蓝色的，剩下的就是蓝色的。日常生活中这两种方式等价，但在数学中并非总是如此。哥德尔不完备性定理指出，即使能枚举所有非定理（类似挑出非蓝色积木），也未必能确定剩下的就是定理，因为“非定理”集合可能无法穷尽。
有人可能会想，如果哥德尔语句足够大，一直枚举错误语句直到超过它的大小，还没发现它，不就相当于证明它是正确的吗？这就像用反证法。但问题在于，错误语句（非定理）的集合过于庞大复杂，无法像蓝色积木那样简单地挑出来或枚举完毕。定理可以根据规则生成，但错误语句的复杂度远超定理，无法通过有限的规则和枚举来涵盖。
这么一想，真理和谬误并非简单的二元对立，可以互相转换。哥德尔定理从数学逻辑层面证明了这一点：即使能枚举所有谬误，也未必能得到所有真理。真理和谬误在本质上是独立的，不能互换。
从哲学角度来看，真理和谬误是各自独立存在的，不能反过来认为只要所有语句都是错的，世界也能自洽存在。这是真与假的核心特征：它们在理念上不能互换。对普通人来说，真假不能互换是显而易见的，但哥德尔通过数学底层逻辑证明了这一点。
(00:56:16) DeepSeek之问：“生成性”与“判定性”是不是智能的本质区别？
如果人工智能的训练像“递归可枚举集”一样，一个一个地列举和寻找，大力出奇迹。如果将这个概念延伸到“生成”和“判定”，目前的生成式人工智能（例如GPT）是否就是用递归可枚举的方法？
递归可枚举确实是一种生成式的方式，类似形式主义：给定公理和规则，不断创造新的定理。ChatGPT也是如此，它收集互联网上人类的语言和知识作为基础，用Transformer和Attention等规则不断生成新内容，就像形式系统生成定理。有趣的是，ChatGPT会一本正经地胡说八道，它根据规则生成内容，并不关心真假，就像生成的定理，其意义需要人去判断。
生成的语句的真假也需要判定。ChatGPT的判定能力可能来自更大的模型，例如GAN（生成式对抗网络）或引导式学习模型。机器的判定依赖于更大的模型，如果没有更大的模型就无法进行。DeepSeek的优势在于它找到了更大的模型——ChatGPT，因此它很有效。
生成和判定的关系是：强大的判定能力才能创造价值，光生成无法创造价值。哥德尔不完全性定理揭示了最终的数学真理只能靠人判定，机器生成的定理即使是真的，机器也无法判断。即使有更大的人工智能帮小的人工智能判定，更大的模型依然会生成自己判定不了的真理。因此，有人认为形式化的人工智能不可能存在，因为任何符合形式系统生成逻辑的系统都会生成自己判定不了的真理，而人可以判定。
另一种观点是，哥德尔语句（不可判定的命题）也是形式系统生成的，因此形式系统可以生成所有真理（递归可枚举集），只是自己判定不了。ChatGPT可能能够达到人类智能，因为它能生成所有东西，只是自己不知道。ChatGPT生成的内容可能覆盖人类所有知识和思考，最终由人来判断真假。因此，ChatGPT是否具有真正的人类智能并不重要，它能提供所有问题的答案，答案的真假由人来判断。从这个角度来看，ChatGPT似乎已经拥有了真正的智能？
最终，判定依赖于系统之外的东西，而不是系统之内。接受这个事实，智能的定义也就不重要了。DeepSeek的厉害之处在于它找到了更大的系统（ChatGPT）来帮助判定，从而提高了效率。
(01:03:44) “生成式”人工智能（GPT）真的有智能吗？智能是不是一种“系统外”的东西？
之前讨论过人工智能和人类心智的关系，认为人类心智超越形式系统，机器不可能产生真正的智能。因为人的心智在系统之外，维度不同，无法推理或认知。即使原认知不同，之前也认为生成能力对应递归可枚举的思路，可以不断罗列，但不知道何时停止。判定能力相当于给出yes或no，停止枚举，对应递归。在智能行为中，这两种能力不能相互替代。人类拥有生成和判断能力，但面对宇宙的无穷复杂性，即使同时拥有这两种能力，也无法穷尽一切，没有尽头。就像宇宙的尽头是否为42，没有答案。
大模型套小模型，用大模型判定，但大模型是否代表宇宙？这就像不知道袋子里糖有多少种味道，无法确定。也不必回到19世纪文艺复兴时期追求纯粹的真理，那个时代已经过去，人类已经进入不纯粹的时代，不必纠结纯粹与否。这是一个永恒的话题，有很多方面没有讨论到。
最后一部分讨论哲学启示。可以将之前的讨论视为哲学理论，而不是数学、计算机科学或人工智能。讨论的核心是没有界限，世界是二元对立还是混沌的阴阳结合，取决于理解方式。人类直觉倾向于用对立或二元来刻画世界，例如白鱼和黑猪，但在埃舍尔的画中，它们相互依存。图形与衬底、真理与谬误等概念的边界取决于视角和语境。空间可以是正的或负的，数学中的正数、负数和零在不同的坐标系中会发生变化，零也可能不是零。世界上可能没有界限，这可以引申出一个哲学概念。
(01:08:57) 数学世界可以互换，真实世界呢？《道德经》和量子的启示
哥德尔不完备性定理、侯世达的图形与衬底，以及真理与谬误的互换性，引人深思。数学中，正负数、黑白、图形背景似乎可以互换，但真实世界是否如此？
从数学角度看，这与递归集和递归可枚举集有关。可互换的部分如同递归集，其本身和补集等价。但世界还有更大的不可互换部分，如同递归可枚举集，只有其自身可枚举，补集不行。 哥德尔构造的例子及其证明的难度，使得这种不可互换性难以在日常生活中找到，我们常见的例子，例如彩色积木，都属于可互换的递归集。
那么，不可互换的意义何在？如同道德经中的有无之辨，“有之以为利，无之以为用”，房屋的功用在于其内部空间（无），而非构成它的砖瓦（有）。 定理的意义在于避免错误，而非其本身。 真理和谬误如同有无，不可互换。我们需要的并非定理本身（有），而是它所带来的正确性（无）。
这种不可互换性不同于简单的黑白互换或二进制的0和1。 真理和谬误在现实世界中不可互换，但在人类认知中，它们受语境和语义影响，例如“今天是晴天”的真假取决于天气。哥德尔不完备性定理中的悖论也模糊了真假的界限，使其在特定情况下可以相互转化。同样，真理的集合可枚举，谬误的集合却未必。这些都存在于人类认知层面。
进一步思考，量子世界或许是最终的底层逻辑。量子如同最小的单位，其他现象都建立在其上。那么，什么是根本？是微观多样的物质世界，还是基于某种背景机制的人类认知？
人类认知中的可互换性在现实中可能并不成立，反之亦然。哥德尔不完备性定理揭示了人类认知的局限性，侯世达的禅宗公案也探讨了真理与谬误在思维中的互换问题。 量子世界或许颠覆了我们的认知，它可能既是图形也是衬底。 本体论和认识论的复杂性，至今仍是未解之谜。
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